486. El límite de $f\left( x \right)=\sqrt{x-1}$ cuando $x\to 1$ es

a) 0

b) 1

c) No existe

 

La función $f\left( x \right)=\sqrt{x-1}$ es una función con una raíz cuadrada (de índice par), por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos “que hagan positivo el radicando”.

 

Determinemos entonces los puntos que hacen positivo el radicando:

 

$x-1>0\quad \Rightarrow \quad x>1$

 

Es decir, que la función existe, es continua y derivable en

$\left( 1,\infty  \right)$

pero debemos calcular el límite cuando $x\to 1$, en el extremo del intervalo mencionado, por lo que estudiaremos los límites laterales, es decir, cómo se comporta la función “un poco antes y un poco después” de $x=1$:

 

Calculemos el límite por la derecha (un poco después de $x=1$):

 

$\underset{x\to {{\left( 1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x-1}\quad =\quad \sqrt{{{1}^{+}}-1}\quad =\quad \sqrt{{{0}^{+}}}\quad =\quad 0$

 

y el límite por la izquierda (un poco antes de $x=1$):

 

$\underset{x\to {{\left( 1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x-1}\quad =\quad \sqrt{{{1}^{-}}-1}\quad =\quad \sqrt{{{0}^{-}}}\quad \notin \ \mathbb{R}$

 

el límite por la izquierda no existe pues la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

 

Los límites laterales son distintos, no coinciden, por lo que el límite pedido NO existe.

 

La función NO se comporta igual a la derecha y a la izquierda de $x=1$ porque a su izquierda esa función no existe, luego en ese punto NO existe el límite.