418. La función $f\left( x \right)=3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}$ tiene derivada

a) ${{f}^{'}}\left( x \right)=3{{x}^{{}^{-2}\!\!\diagup\!\!{}_{3}\;}}$

b) ${{f}^{'}}\left( x \right)={}^{2}\!\!\diagup\!\!{}_{\sqrt[3]{x}}\;$

c) ${{f}^{'}}\left( x \right)={}^{9}\!\!\diagup\!\!{}_{{{x}^{2}}}\;$

 

Se trata de una función con raíces que se puede expresar en forma de potencias como:

 

$f\left( x \right)\quad =\quad 3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\quad =\quad 3\cdot {{x}^{\frac{2}{3}}}$

 

Por lo que la derivada pedida se calcula:

 

$f'\left( x \right)\ \quad =\quad \ 3\cdot \frac{2}{3}\cdot {{x}^{\frac{2}{3}-1}}\quad =\quad \frac{\not{3}\cdot 2}{{\not{3}}}{{x}^{\frac{2-3}{3}}}\quad =\quad 2{{x}^{\frac{-1}{3}}}$

 

Que expresado nuevamente en forma de raíces quedaría:

 

$f'\left( x \right)\ \quad =\quad 2{{x}^{\frac{-1}{3}}}\quad =\quad \frac{2}{{{x}^{\frac{1}{3}}}}\quad =\quad \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$