405.  De una urna que contiene 6 bolas blancas y 4 rojas extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación. Entonces, la probabilidad de que sean de distinto color es:

a) ${7}/{8}\;$

b) ${8}/{15}\;$

c) ${15}/{28}\;$

 

Sólo hay dos maneras de que las bolas extraídas sean de distinto color: o bien la primera bola es roja y la segunda blanca; o bien la primera bola es blanca y la segunda roja; y no se pueden dar al mismo tiempo, por lo que podremos aplicar la fórmula de la Probabilidad Total.

 

Si denominamos:

 

${{b}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es blanca”

${{b}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es blanca”

${{r}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es roja”

${{r}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es roja”

 

aplicando la fórmula de la Probabilidad Total tendremos:

 

$P(\text{distinto color})=P({{r}_{1}}\cap {{b}_{2}})+P\left( {{b}_{1}}\cap {{r}_{2}} \right)=$

$=P\left( {{r}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{r}_{1}} \right)+P\left( {{b}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{b}_{1}} \right)$

 

Calcularemos cada una de dichas probabilidades aplicando fijándonos en la composición de la urna en cada momento y la fórmula de Laplace:

 

$P\left( A \right)=\frac{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{favorables}}{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{posibles}}$

 

En el momento inicial la urna tiene 10 bolas, de las que 6 bolas son blancas y 4 rojas, por lo que:

 

$P\left( {{r}_{1}} \right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\quad \text{y}\quad P\left( {{b}_{1}} \right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

 

Si la primera bola extraída es roja, quedan 9 bolas, de las que 6 bolas son blancas y 3 rojas, por lo que:

 

$P\left( {{b}_{2}}/{{r}_{1}} \right)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

 

Si la primera bola extraída es blanca, quedan 9 bolas, de las que 5 bolas son blancas y 4 rojas, por lo que:

 

$P\left( {{r}_{2}}/{{b}_{1}} \right)=\frac{4}{9}$

 

Luego la probabilidad pedida quedará:

 

$P(\text{distinto color})=P\left( {{r}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{r}_{1}} \right)+P\left( {{b}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{b}_{1}} \right)=$

 

$=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}\ +\ \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{9}\quad =\quad \frac{2\cdot 2}{5\cdot 3}\ +\ \frac{\not{3}\cdot 4}{5\cdot 3\cdot \not{3}}\quad =\quad \frac{4}{15}\ +\ \frac{4}{15}\quad =\quad \frac{8}{15}$

 

También podríamos representar la resolución del ejercicio en un árbol de decisión donde en cada nivel representamos una fase del experimento aleatorio y sobre los arcos indicamos la probabilidad de que ocurra cada uno de los sucesos:

Elegimos los puntos finales que hacen que ocurra el suceso que nos interesa (recuadrados en rojo) y la probabilidad de llegar ahí es el producto de las probabilidades que aparecen en los arcos que hemos de recorrer y la probabilidad buscada es la suma de todos ellos. Así, según la gráfica:

 

$P(\text{distinto color})\quad =\quad \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}\ +\ \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{9}\quad =$

 

$=\quad \frac{2\cdot 2}{5\cdot 3}\ +\ \frac{\not{3}\cdot 4}{5\cdot 3\cdot \not{3}}\quad =\quad \frac{4}{15}\ +\ \frac{4}{15}\quad =\quad \frac{8}{15}$

 

Que lógicamente son las mismas operaciones y resultado que las obtenidas aplicando la fórmula de la probabilidad total.