358. Un niño come ${}^{5}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;$ de la cuarta parte de una tarta. Su hermano come primero ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{9}\;$ de la tarta y más tarde una propina de ${}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{24}\;$. ¿Quién ha comido más?

a) el primero

b) el segundo

c) los dos igual

 

El primer niño come ${}^{5}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;$ de la cuarta parte, es decir:

$\frac{5}{6}\times \frac{1}{4}\quad =\quad \frac{5\times 1}{6\times 4}\quad =\quad \frac{5}{24}$

 

El segundo niño come primero ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{9}\;$ y luego ${}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{24}\;$, luego en total:

 

$\frac{1}{9}+\frac{3}{24}\quad =\quad \frac{1}{9}+\frac{1}{8}\quad =\quad \frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}\quad =\quad \frac{1\times {{2}^{3}}}{{{3}^{2}}\times {{2}^{3}}}+\frac{1\times {{3}^{2}}}{{{3}^{2}}\times {{2}^{3}}}\quad =$

 

$=\quad \frac{8}{72}+\frac{9}{72}\quad =\quad \frac{8+9}{72}\quad =\quad \frac{17}{72}$

 

Y para poder comparar lo que ha comido cada uno necesitamos tener expresadas ambas cantidades, $\frac{5}{24}$ y $\frac{17}{72}$, con igual denominador, el m.c.m. de 24 y 72.

 

Teniendo en cuenta que:

 

$24\ =\ {{2}^{3}}\times 3$

 

$72\ =\ {{2}^{3}}\times {{3}^{2}}$

 

Tendremos:

 

$\frac{5}{24}\ =\ \frac{5}{{{2}^{3}}\times 3}\ =\ \frac{5\times 3}{{{2}^{3}}\times {{3}^{2}}}\ =\ \frac{15}{72}$

 

Dado que el primer niño ha comido $\frac{15}{72}$ de la tarta y el segundo ha comido el $\frac{17}{72}$ de la tarta, quien ha comido más ha sido el segundo niño.

 

NOTA: también lo podríamos haber comparado pasando cada expresión racional a su expresión decimal, es decir:

 

$\frac{5}{24}\ \cong \ 0,2083$

 

$\frac{17}{72}\ \cong \ 0,2361$

 

Por lo que habrá comido más el segundo niño.