350. Lanzamos tres veces una moneda equilibrada. La probabilidad de obtener solamente dos caras es:

a) ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$

b) ${}^{3}\!\!\diagup\!\!{}_{8}\;$

c) ${}^{7}\!\!\diagup\!\!{}_{8}\;$

 

Sea ${{A}_{i}}$ el suceso “obtener cara en el lanzamiento i”, su contrario $\left( A_{i}^{C} \right)$ será el suceso “obtener cruz en el lanzamiento i”, con $P\left( {{A}_{i}} \right)\ =\ P\left( A_{i}^{C} \right)\ =\ \frac{1}{2}$

 

Para lanzar tres veces la moneda y obtener solamente dos caras tendrá que obtenerse en total dos caras y una cruz, pero la cruz puede salir en el primer lanzamiento $\left( A_{1}^{C}\cap {{A}_{2}}\cap {{A}_{3}} \right)$ o en el segundo $\left( {{A}_{1}}\cap A_{2}^{C}\cap {{A}_{3}} \right)$ o en el tercero $\left( {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap A_{3}^{C} \right)$. Y estas tres opciones son excluyentes, no se pueden dar a la vez, son disjuntas, por lo que, según la definición de probabilidad:

 

$P\left( \text{solamente dos caras} \right)\ =$

 

$=\ P\left( \left( A_{1}^{C}\cap {{A}_{2}}\cap {{A}_{3}} \right)\cup \left( {{A}_{1}}\cap A_{2}^{C}\cap {{A}_{3}} \right)\cup \left( {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap A_{3}^{C} \right) \right)\ =$

 

$=\ P\left( A_{1}^{C}\cap {{A}_{2}}\cap {{A}_{3}} \right)+P\left( {{A}_{1}}\cap A_{2}^{C}\cap {{A}_{3}} \right)+P\left( {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap A_{3}^{C} \right)$

 

Por otra parte, repetimos tres veces el experimento de lanzar la moneda y las repeticiones son independientes entre sí, es decir, lo que ocurra en cada una de ellas, no afecta a los resultados de las demás repeticiones. Por lo  tanto:

 

$P\left( A_{1}^{C}\cap {{A}_{2}}\cap {{A}_{3}} \right)=P\left( A_{1}^{C} \right)P\left( {{A}_{2}} \right)P\left( {{A}_{3}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

 

$P\left( {{A}_{1}}\cap A_{2}^{C}\cap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)P\left( A_{2}^{C} \right)P\left( {{A}_{3}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

 

$P\left( {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap A_{3}^{C} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)P\left( {{A}_{2}} \right)P\left( A_{3}^{C} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

 

Así que la probabilidad pedida será:

 

$P\left( \text{solamente dos caras} \right)\ =\ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ =\ \frac{3}{8}$

 

También podíamos haberlo calculado fijándonos en el espacio muestral, o espacio de posibilidades:

 

Ω={😐😐😐, 😐😐+, 😐+😐, 😐++, +😐😐, +😐+, ++😐, +++}

 

Y aplicando la regla de Laplace:

 

$P(A)=\frac{\text{n}{}^\circ \ \text{casos favorables}}{\text{n}{}^\circ \ \text{casos posibles}}=\frac{3}{8}$

 

Pues los “casos favorables” son aquellos en los que figura “dos caras y una cruz” (3) y los “casos posibles” el total de los que pueden presentarse (8).