344. Una persona tiene unos ingresos de $x$ euros mensuales. Gasta ${}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{16}\;$ euros en el recibo de la luz, ${}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{12}\;$ euros en el recibo del teléfono, ${}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{18}\;$ euros en el recibo del gas, ${}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$ euros en manutención y ${}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{24}\;$ euros en otros gastos. Le sobran 370 euros a final de mes. Entonces su ingresos mensuales ascienden a

a) 1600 €

b) 1440 €

c) 1500 €

 

Al inicio tiene $x$ €.

 

En total se gasta:

 

$\frac{x}{16}+\frac{x}{12}+\frac{x}{18}+\frac{x}{2}+\frac{x}{24}\quad =\quad \frac{x}{{{2}^{4}}}+\frac{x}{{{2}^{2}}\times 3}+\frac{x}{2\times {{3}^{2}}}+\frac{x}{2}+\frac{x}{{{2}^{3}}\times 3}\quad =$

 

$=\quad \frac{x\times {{3}^{2}}}{{{2}^{4}}\times {{3}^{2}}}+\frac{x\times {{2}^{2}}\times 3}{{{2}^{2}}\times 3\times {{2}^{2}}\times 3}+\frac{x\times {{2}^{3}}}{2\times {{3}^{2}}\times {{2}^{3}}}+\frac{x\times {{2}^{3}}\times {{3}^{2}}}{2\times {{2}^{3}}\times {{3}^{2}}}+\frac{x\times 2\times 3}{{{2}^{3}}\times 3\times 2\times 3}\quad =$

 

$=\quad \frac{9x+12x+8x+72x+6x}{{{2}^{4}}\times {{3}^{2}}}\quad =\quad \frac{107x}{144}$

 

Por los que los 370 € que le quedan representan en proporción:

 

\[x-\frac{107x}{144}\quad =\quad \frac{144x}{144}-\frac{107x}{144}\quad =\quad \frac{144x-107x}{144}\quad =\quad \frac{37x}{144}\]

 

De donde:

 

$\frac{37x}{144}\ =\ 370\quad \Rightarrow \quad 37x\ =\ 370\times 144\quad \Rightarrow \quad x\ =\ \frac{370\times 144}{37}\quad \Rightarrow $

 

 

Por lo que se gasta $\frac{x}{16}\ =\ \frac{1440}{16}\ =\ 90$ € en el recibo de la luz, $\frac{x}{12}\ =\ \frac{1440}{12}\ =\ 120$ € en el recibo del teléfono, $\frac{x}{18}\ =\ \frac{1440}{18}\ =\ 80$ € en el recibo del gas, $\frac{x}{2}\ =\ \frac{1440}{2}\ =\ 720$ € en manutención y $\frac{x}{24}\ =\ \frac{1440}{24}\ =\ 60$ € en otros gastos, sobrándole 370 €.

Luego, efectivamente sus ingresos ascienden a $90+120+80+720+60+370\ =\ 1440$ €.