331. Sea $\mathcal{U}\ =\ \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ el conjunto universal. Consideremos los conjuntos $A\ =\ \left\{ 1,3,6 \right\}$ y $B\ =\ \left\{ 2,4,5 \right\}$. Entonces no se verifica que

a) ${{A}^{C}}\ \cup \ {{B}^{C}}\ =\ \mathcal{U}$

b) ${{\left( A\ -\ B \right)}^{C}}\ =\ {{\left( B\ -\ A \right)}^{C}}$

c) ${{A}^{C}}\ \cap \ {{B}^{C}}=\ \varnothing $

Los conjuntos de partida son: $A\ =\ \left\{ 1,3,6 \right\}$ y $B\ =\ \left\{ 2,4,5 \right\}$.

Por lo que los elementos de ${{A}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A$, son:

${{A}^{C}}\quad =\quad \left\{ 2,4,5 \right\}$

Y los elementos de ${{B}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $B$, son:

${{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ 1,3,6 \right\}$

Con lo que los elementos de ${{A}^{C}}\ \cup \ {{B}^{C}}$, los elementos que  pertenecen a ${{A}^{C}}$ o a ${{B}^{C}}$, son:

${{A}^{C}}\ \cup \ {{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ 2,4,5,1,3,6 \right\}\quad =\quad \mathcal{U}$

Al mismo tiempo, los elementos de ${{A}^{C}}\ \cap \ {{B}^{C}}$, los elementos comunes a ${{A}^{C}}\ =\ \left\{ 2,4,5 \right\}$ y ${{B}^{C}}\ =\ \left\{ 1,3,6 \right\}$, son:

${{A}^{C}}\ \cap \ {{B}^{C}}\quad =\quad \varnothing $

Mientras que los elementos de $A\ -\ B$, los elementos de $A$ que no pertenecen a $B$, son:

$A\ -\ B\quad =\quad \left\{ 1,3,6 \right\}\quad =\quad A$

Con ${{\left( A-B \right)}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A-B$:

${{\left( A-B \right)}^{C}}\quad =\quad {{A}^{C}}\quad =\quad \left\{ 2,4,5 \right\}$

Así como los elementos de $B\ -\ A$, los elementos de $B$ que no pertenecen a $A$, son:

$B\ -\ A\quad =\quad \left\{ 2,4,5 \right\}\quad =\quad B$

Con ${{\left( B-A \right)}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $B-A$:

${{\left( B-A \right)}^{C}}\quad =\quad {{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ 1,3,6 \right\}$

Llegando a:

${{\left( A\ -\ B \right)}^{C}}\ \ne \ {{\left( B\ -\ A \right)}^{C}}$

que es la única de las tres expresiones propuestas que NO se verifica.