323. Sean los conjuntos $A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$ y $B=\left\{ a,b,c \right\}$, y sea $f:A\to B$ la transformación definida por $f(1)=c$, $f(2)=a$, $f(3)=b$, $f(4)=a$. Entonces

a) $f$ es aplicación inyectiva

b) $f$ es aplicación sobreyectiva

c) $f$ no es aplicación

La representación gráfica de la transformación definida quedaría:

Para que sea aplicación, todos los elementos del conjunto inicial deben tener “una y solo una” imagen en el conjunto final (es decir, de todos y cada uno de los elementos del conjunto inicial debe salir una y solo una flecha en la representación gráfica). Y la transformación definida SÍ es una aplicación pues: $f(1)=c$, $f(2)=a$, $f(3)=b$ y $f(4)=a$.

Por otra parte, para que sea inyectiva a elementos distintos del conjunto inicial les deben corresponder elementos distintos del conjunto final, es decir, dos elementos distintos del conjunto inicial no pueden tener la misma imagen en el conjunto final (un elemento del conjunto final no puede “recibir dos flechas”).

Dado que $f(2)=a=f\left( 4 \right)$, la aplicación NO es inyectiva.

Y para que sea sobreyectiva todo elemento del conjunto final debe ser imagen de “al menos un” elemento del conjunto inicial (cada elemento del conjunto final debe “recibir al menos una flecha”), lo cual se cumple en nuestro caso dado que: $a=f(2)=f\left( 4 \right)$, $b=f(3)$ y $c=f(1)$.

Por lo que SÍ es una aplicación sobreyectiva.