250. Si $f$ es la función definida por $f\left( x \right)=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}$, se cumple:

a) $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$

b) $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty $

c) $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={1}/{4}\;$

La función $f\left( x \right)=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”, es decir en:

${{x}^{2}}-4=0\quad \Rightarrow \quad {{x}^{2}}=4\quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt{4}\quad \Rightarrow \quad x=\pm 2$

Debemos calcular el límite cuando $x\to 2$, en un “cero del denominador”, y si tratamos de calcularlo haciendo $x=2$ obtenemos $\frac{0}{0}$ que es una indeterminación. Necesitamos “resolver” dicha indeterminación para poder calcular el límite pedido.

Pero una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que proviene de un cociente de polinomios nos está indicando que existe un factor común al numerador y al denominador, en concreto el factor $x-2$ (porque estamos calculando el límite en $x=2$). Identifiquemos por lo tanto dicho factor común para poder simplificarlo:

Tras resolver la indeterminación, debemos calcular el límite de una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador” y debemos calcularlo en un punto de no anula el denominador, luego ahí la función existe, es continua y derivable, y por ello se cumple que para calcular el límite pedido es suficiente con darle a $x$ el valor que nos interesa $x=2$:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( x+2 \right)}\quad =\quad \frac{1}{2+2}\quad =\quad \frac{1}{4}$