240. El límite de la función $f\left( x \right)={\left( 16-{{x}^{2}} \right)}/{\left( 4+x \right)}\;$ cuando $x\to 4$ la función:

a) es 0

b) es $\infty $

c) no se puede calcular

La función $f\left( x \right)$ una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”, es decir en:

$4+x=0\quad \Rightarrow \quad x=-4$

Dado que debemos calcular el límite cuando $x\to 4$, que no es un “cero del denominador”, según lo dicho en dicho punto la función existe, es continua y derivable por lo que adicionalmente el valor del límite debe coincidir con el valor de la función, y es suficiente con darle a $x$ el valor que nos interesa:

$\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{16-{{x}^{2}}}{4+x}\ \ =\ \ f\left( 4 \right)=\ \ \frac{16-{{4}^{2}}}{4+4}\ \ =\ \ \frac{16-16}{8}\ \ =\ \ \frac{0}{8}=\ \ 0$

NOTA: además se cumple

$f\left( x \right)\ \ =\ \ \frac{16-{{x}^{2}}}{4+x}\ \ =\ \ \frac{\left( 4+x \right)\left( 4-x \right)}{\left( 4+x \right)}\ \ =\ \ 4-x$

Por lo que realmente se trata de una recta de pendiente -1 y ordenada en el origen 4.