213. Un dado está cargado de manera que al lanzarlo, sus resultados elementales ocurren con la probabilidad indicada en la siguiente tabla

Resultado	1	2	3	4	5	6
Probabilidad	$p$	$2p$	$p$	$2p$	$p$	$2p$

Entonces, la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número impar es

a) ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{3}\;$

b) ${}^{7}\!\!\diagup\!\!{}_{9}\;$

c) ${}^{2}\!\!\diagup\!\!{}_{3}\;$

No es un dado perfectamente construido donde todos los sucesos simples se presentan con igual probabilidad. En este caso se trata de un dado cargado donde, por ejemplo, según los datos que figuran en el cuadro de probabilidades, sacar cualquier número par es el  doble de fácil que sacar cualquier número impar.

Para que los datos ofrecidos representen realmente un modelo de probabilidad deben cumplir las tres condiciones que lo definen en un espacio finito:

1. Para todos los sucesos $A$, $0\le P(A)\le 1$.

2. Para el suceso seguro Ω, $P(\Omega )=1$

3. Dados $A$ y $B$ sucesos disjuntos $\left( A\cap B=\varnothing  \right)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Respecto a la condición 1, las probabilidades reseñadas en el cuadro para los sucesos simples cumplirían $0\le P(A)\le 1$ si conseguimos demostrar que $0\le p\le {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$

Analizando las otras dos condiciones, 2 y 3, tendríamos:

\[1=P(\Omega )=P\left( \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \right)=\]

\[=P\left( \left\{ 1 \right\}\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left\{ 3 \right\}\cup \left\{ 4 \right\}\cup \left\{ 5 \right\}\cup \left\{ 6 \right\} \right)=\]

$=P\left( \left\{ 1 \right\} \right)+P\left( \left\{ 2 \right\} \right)+P\left( \left\{ 3 \right\} \right)+P\left( \left\{ 4 \right\} \right)+P\left( \left\{ 5 \right\} \right)+P\left( \left\{ 6 \right\} \right)$

Es decir, las probabilidades de los sucesos simples del modelo propuesto deben sumar 1.

En nuestro caso nos llevaría a:

De donde:

\[P(impar)\quad =\quad P\left( \left\{ 1,3,5 \right\} \right)\quad =\quad =P\left( \left\{ 1 \right\}\cup \left\{ 3 \right\}\cup \left\{ 5 \right\} \right)\quad =\]

$=\quad P\left( \left\{ 1 \right\} \right)+P\left( \left\{ 3 \right\} \right)+P\left( \left\{ 5 \right\} \right)\quad =\quad p+p+p\quad =$

$=\quad 3p\quad =\quad 3\times \frac{1}{9}\quad =\quad \frac{3}{9}\quad =\quad \frac{1}{3}$