209. El valor de $y$ para que los puntos $\left( 4,-1 \right)$, $\left( 5,1 \right)$ y $\left( 1,y \right)$, estén alineados es

a) -7

b) 3

c) -5

Buscamos el valor de $y$ para que el punto $\left( 1,y \right)$ esté alineado con los puntos $\left( 4,-1 \right)$ y $\left( 5,1 \right)$.

Los puntos que estén alineados con $\left( 4,-1 \right)$ y $\left( 5,1 \right)$ deben cumplir la ecuación de la recta que pasa por $\left( 4,-1 \right)$ y$\left( 5,1 \right)$. Calculemos por tanto la ecuación de dicha recta:

Al ser una recta del plano tendrá de ecuación $y=mx+n$.

Dado que pasa por el punto $\left( 4,-1 \right)$, las coordenadas de este punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-1=m\times \left( 4 \right)+n$

Dado que pasa por el punto $\left( 5,1 \right)$, las coordenadas de este punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times \left( 5 \right)+n$

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en cualquier ecuación:

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 4,-1 \right)$ y $\left( 5,1 \right)$ es $y=2x-9$ y estarán alineados con ellos todos los puntos que cumplan dicha ecuación.

El punto que buscamos $\left( 1,y \right)$ debe estar alineado con ellos y, por lo tanto, debe cumplir dicha ecuación:

Otra manera de comprobar si tres puntos están alineados, aunque menos intuitiva geométricamente hablando, es recordar que “tres puntos $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$, $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ y $\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)$ están alineados si $\frac{{{y}_{3}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}\quad =\quad \frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ o bien ${{x}_{1}}={{x}_{2}}={{x}_{3}}$”.

Y en nuestro caso tendríamos, dado que los puntos son $\left( 4,-1 \right)$, $\left( 5,1 \right)$ y $\left( 1,y \right)$: