206. Sean los conjuntos $A=\left\{ a,b,c,d \right\}$, $B=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$, y $f:A\to B$ la transformación $f(a)=1$, $f(b)=2$, $f(b)=4$, $f(c)=3$, $f(d)=4$. Entonces

a) $f$ no es aplicación

b) $f$ es aplicación y la imagen de $C=\left\{ a,b,c \right\}\ \subset \ A$ es $f(C)=\left\{ 1,2,3 \right\}$

c) $f$ es aplicación y ${{f}^{-1}}(\left\{ 4 \right\})=d$

La representación gráfica de la transformación definida quedaría:

Para que sea aplicación, todos los elementos del conjunto inicial deben tener “una y solo una” imagen en el conjunto final (es decir, de todos y cada uno de los elementos del conjunto inicial debe salir una y solo una flecha en la representación gráfica). Y la transformación definida NO es una aplicación pues: $f(b)=2$ y $f(b)=4$, es decir, $b$ tiene dos imágenes (de $b$ salen dos flechas).

Por otra parte, $C=\left\{ a,b,c \right\}\ \subset \ A$ es un subconjunto del conjunto inicial $A$ $\left( C\subset A \right)$, por lo que podemos calcular su imagen $f(C)$. Y, por definición, la imagen de un subconjunto del conjunto inicial $A$, es un subconjunto del conjunto final $B$ formado por todos los elementos de $B$ que sean imagen de algún elemento del subconjunto $C\subset A$, es decir, $f(C)=\left\{ 1,2,3,4 \right\}=B\subset B$.

Y ${{f}^{-1}}(\left\{ 4 \right\})$, la imagen inversa de $\left\{ 4 \right\}\subset B$, es un subconjunto del conjunto inicial cuyos elementos son todos aquellos elementos de $A$ cuyas imágenes por la aplicación $f$ pertenecen al conjunto $\left\{ 4 \right\}$. En la representación gráfica, todos aquellos elementos de $A$ de los que salgan flechas que vayan a parar a cualquier elemento del conjunto $\left\{ 4 \right\}$. Luego, ${{f}^{-1}}(\left\{ 4 \right\})=\left\{ b,d \right\}\subset A$.

Además, la imagen inversa de un subconjunto del conjunto final debe ser un subconjunto del conjunto inicial, por lo que $\left\{ d \right\}\subset A$ sí podría ser la imagen inversa buscada (es un subconjunto del conjunto $A$), pero $d\in A$ no puede ser la imagen inversa buscada (es un elemento, no un subconjunto, de $A$).