204. La probabilidad de que meta gol de falta directa un jugador de fútbol es 0,85. Teniendo en cuenta que los sucesos son independientes, la probabilidad de que en tres faltas directas anote dos goles es

a) 0,374

b) 0,325

c) 0,295

Si denominamos ${{g}_{i}}\equiv $ “meter gol en el lanzamiento $i$”, tendremos $g_{i}^{C}\equiv $ “fallar en el lanzamiento $i$” con:

\[P\left( g_{i}^{C} \right)\quad =\quad 1\ -\ P\left( {{g}_{i}} \right)\quad =\quad 1\ -\ 0,85\quad =\quad 0,15\]

Y entendiendo la probabilidad pedida “que en tres faltas directas anote dos goles” como “que en tres faltas directas anote exactamente dos goles”, solo se puede conseguir ese resultado si se dan: ${{g}_{1}}{{g}_{2}}g_{3}^{C}$ o bien ${{g}_{1}}g_{2}^{C}{{g}_{3}}$ o bien $g_{1}^{C}{{g}_{2}}{{g}_{3}}$, es decir, si falla el solo el tercero, o solo el segundo, o solo el primero.

Dado que esos tres resultados no se pueden dar al mismo tiempo, es decir, son disjuntos, según la definición de probabilidad tendremos:

$P\left( dos\ \ goles \right)\quad =\quad P\left( {{g}_{1}}{{g}_{2}}g_{3}^{C}\cup {{g}_{1}}g_{2}^{C}{{g}_{3}}\cup g_{1}^{C}{{g}_{2}}{{g}_{3}} \right)\quad =$

$=\quad P\left( {{g}_{1}}{{g}_{2}}g_{3}^{C})\ +\ P({{g}_{1}}g_{2}^{C}{{g}_{3}})\ +\ P(g_{1}^{C}{{g}_{2}}{{g}_{3}} \right)$

Calcularemos cada una de dichas probabilidades teniendo en cuenta que los sucesos son independientes, por lo que tendremos:

\[P\left( {{g}_{1}}{{g}_{2}}g_{3}^{C} \right)\quad =\quad P\left( {{g}_{1}}\cap {{g}_{2}}\cap g_{3}^{C} \right)\quad =\quad P\left( {{g}_{1}} \right)P\left( {{g}_{2}} \right)P\left( g_{3}^{C} \right)\quad =\]

$=\quad 0,85\times 0,85\times 0,15\quad =\quad 0,108375$

Igualmente:

\[P({{g}_{1}}g_{2}^{C}{{g}_{3}})\quad =\quad 0,85\times 0,15\times 0,85\quad =\quad 0,108375\]

\[P(g_{1}^{C}{{g}_{2}}{{g}_{3}})\quad =\quad 0,15\times 0,85\times 0,85\quad =\quad 0,108375\]

Por lo que la probabilidad pedida quedará:

$P\left( dos\ \ goles \right)\quad =\quad 0,108375+0,108375+0,108375\quad =$

$=\quad 0,108375\times 3\quad =\quad 0,325125\quad \cong \quad 0,325$