189. La suma de las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo de vértices $A\ (1,5)$, $B\ (1,1)$ y $C\ (4,1)$ es de

a) 5 unidades

b) 7 unidades

c) $\sqrt{74}$ unidades

Si representamos el triángulo propuesto en un sistema de referencia cartesiano:

observamos que sus catetos son los lados entre los vértices $A\ (1,5)$ y $B\ (1,1)$, y $B\ (1,1)$ y $C\ (4,1)$. Y la longitud de cada cateto será la distancia entre los dos vértices que lo delimitan. Así tendremos:

$catet{{o}_{1}}\quad =\quad d(A,B)\quad =\quad \sqrt{{{(1-1)}^{2}}+{{(1-5)}^{2}}}\quad =$

$=\quad \sqrt{{{0}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}\quad =\quad \sqrt{0+16}\quad =\quad \sqrt{16}\quad =\quad 4\ unidades$

$catet{{o}_{2}}\quad =\quad d(B,C)\quad =\quad \sqrt{{{(4-1)}^{2}}+{{(1-1)}^{2}}}\quad =$

$=\quad \sqrt{{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}\quad =\quad \sqrt{9+0}\quad =\quad \sqrt{9}\quad =\quad 3\ unidades$

Por lo que la suma de las longitudes de los catetos pedida será de $4+3=\ 7\ unidades$