159. Sean los conjuntos $A=\left\{ a,b,c,d \right\}$, $B=\left\{ 1,2 \right\}$, y $f:A\to B$ la transformación definida por $f(a)=1$, $f(b)=1$, $f(c)=2$, $f(d)=1$. Entonces

a) $f$ no es aplicación

b) $f$ es aplicación y ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})=\left\{ c \right\}$

c) $f$ es aplicación y ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})=c$

La representación gráfica de la transformación definida quedaría:

Para que sea aplicación, todos los elementos del conjunto inicial deben tener “una y solo una” imagen en el conjunto final (es decir, de todos y cada uno de los elementos del conjunto inicial debe salir una y solo una flecha en la representación gráfica). Y la transformación definida es una aplicación pues: $f(a)=1$, $f(b)=1$, $f(c)=2$ y $f(d)=1$.

Por otra parte, $\left\{ 2 \right\}$ es un subconjunto del conjunto final $B$ $\left( \left\{ 2 \right\}\subset B \right)$, por lo que podemos calcular su imagen inversa ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})$. Y, por definición, la imagen inversa de un subconjunto del conjunto final, es un subconjunto del conjunto inicial, es decir, ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})\subset A$.

Debe ser un subconjunto del conjunto inicial, por lo que $\left\{ c \right\}\subset A$ sí podría ser la imagen inversa buscada (es un subconjunto de $A$), pero $c\in A$ no puede ser la imagen inversa buscada (es un elemento de $A$).

De hecho, ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})$ es un subconjunto del conjunto inicial cuyos elementos son todos aquellos elementos de $A$ cuyas imágenes por la aplicación $f$ pertenecen al conjunto $\left\{ 2 \right\}$. En la representación gráfica, todos aquellos elementos de $A$ de los que salgan flechas que vayan a parar a cualquier elemento del conjunto $\left\{ 2 \right\}$. Luego, ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})$ es un subconjunto del conjunto inicial que contiene únicamente al elemento $c\in A$. Es decir, ${{f}^{-1}}(\left\{ 2 \right\})=\left\{ c \right\}\subset A$.