153. La derivada segunda de la función $f(x)=\frac{x}{\left( 2x-1 \right)}$ cumple

a) $f''(0)=2$

b) $f''(1)=4$

c) $f''(2)={}^{4}\!\!\diagup\!\!{}_{3}\;$

La función $f\left( x \right)$ es un cociente, por lo que su primera derivada vendrá dada por:

$f'\left( x \right)\quad =\quad \frac{\left( x \right)'\ \left( 2x-1 \right)-x\ \left( 2x-1 \right)'}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\quad =$

$=\quad \frac{1\left( 2x-1 \right)-x\left( 2 \right)}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\quad =\quad \frac{2x-1-2x}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\quad =\quad \frac{-1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$

Que podríamos también escribir como $f'\left( x \right)=-{{\left( 2x-1 \right)}^{-2}}$

Por lo que la segunda derivada pedida (la derivada de la derivada) se calcula:

$f''\left( x \right)\quad =\quad (-1)(-2){{\left( 2x-1 \right)}^{-2-1}}\left( 2x-1 \right)'\quad =$

$=\quad 2{{\left( 2x-1 \right)}^{-3}}2=\quad 4{{\left( 2x-1 \right)}^{-3}}\quad =\quad \frac{4}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}$

Y en los valores pedidos tenemos:

$f''\left( 0 \right)\quad =\quad \frac{4}{{{\left( 2\centerdot 0-1 \right)}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{{{\left( -1 \right)}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{-1}\quad =\quad -4$

$f''\left( 1 \right)\quad =\quad \frac{4}{{{\left( 2\centerdot 1-1 \right)}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{{{\left( 2-1 \right)}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{{{1}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{1}\quad =\quad 4$

$f''\left( 2 \right)\quad =\quad \frac{4}{{{\left( 2\centerdot 2-1 \right)}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{{{\left( 4-1 \right)}^{3}}}\quad =\quad \frac{4}{{{3}^{3}}}$