118. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos que cumplen ${{\left( A-B \right)}^{C}}=B$ entonces:

a) $A\cap B=\varnothing $

b) ${{B}^{C}}\subset A$

c) $A={{B}^{C}}$

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos:

$\left( 1 \right)=A\cap B\quad \Rightarrow $ elementos comunes a $A$ y a $B$

$\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos de $A$, pero fuera de $B$

$\left( 3 \right)={{A}^{c}}\cap B\quad \Rightarrow $ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$\left( 4 \right)={{A}^{c}}\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos fuera de $A$ y de $B$

Empleando esta partición, podemos determinar que:

$A-B=\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}$ : elementos de $A$, pero fuera de $B$

Por lo que su complementario (todo lo demás) será:

${{\left( A-B \right)}^{C}}=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$

Mientras que:

$B=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)$ : elementos de $B$

${{B}^{C}}=\left( 2 \right)\cup \left( 4 \right)$ : elementos fuera de $B$

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$ : elementos de $A$

Dado que en el caso propuesto se cumplía ${{\left( A-B \right)}^{C}}=B$, tenemos:

${{\left( A-B \right)}^{C}}=B\quad \Rightarrow \quad \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad \left( 4 \right)=\varnothing \quad \Rightarrow \quad {{B}^{C}}=\left( 2 \right)\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad {{B}^{C}}=\left( 2 \right)\ \ \subset \ \ \left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)=A$

Es decir, en el caso propuesto se cumple: ${{B}^{C}}\subset A.$

Sólo se daría la igualdad $\left( {{B}^{C}}=\left( 2 \right)\ \ =\ \ \left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)=A \right)$ si $\left( 1 \right)=\varnothing $, es decir, $A\cap B=\varnothing $ y $A\quad \text{y}\quad B$ son conjuntos disjuntos (sin elementos en común).

Otro razonamiento posible hubiese sido:

${{\left( A-B \right)}^{C}}=B\quad \Rightarrow \quad A-B={{B}^{C}}$

Y dado que siempre se cumple $A-B=A\cap {{B}^{C}}$ y $A\cap {{B}^{C}}\subset A$, tenemos:

${{B}^{C}}=A-B=A\cap {{B}^{C}}\subset A$