75. Si $f$ es la función definida por $f\left( x \right)=\frac{1}{1-2x}$ se cumple

a) $\underset{x\to {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=3$

b) $\underset{x\to {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $

c) No existe límite (suponemos que cuando $x\to {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$)

La función $f\left( x \right)=\frac{1}{1-2x}$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

Determinemos entonces los puntos que anulan el denominador:

$1-2x=0\quad \Rightarrow \quad 1=2x\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}=x$

Dado que debemos calcular el límite en uno de los “los ceros del denominador”, estudiaremos los límites laterales, es decir, cómo se comporta la función “un poco antes y un poco después” de $x=\frac{1}{2}$:

Calculemos el límite por la izquierda (un poco antes de $x=\frac{1}{2}$):

$\underset{x\to {{\left( {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1-2x}=\frac{1}{1-2{{\left( {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{-}}}=\frac{1}{1-{{1}^{-}}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty $

y el límite por la derecha (un poco después de $x=\frac{1}{2}$):

$\underset{x\to {{\left( {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1-2x}=\frac{1}{1-2{{\left( {}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \right)}^{+}}}=\frac{1}{1-{{1}^{+}}}=\frac{1}{{{0}^{-}}}=-\infty $

Los límites laterales son distintos, no coinciden, por lo que el límite pedido NO existe.