68. El punto que tiene abcisa $-1$ y está alineado con los puntos $\left( -3,1 \right)$ y $\left( 0,-2 \right)$ tiene ordenada

a) $-1$

b) $2$

c) $1$

Buscamos el valor de $y$ (ordenada del punto) para que un punto de coordenadas $\left( -1,y \right)$ (porque debe tener abcisa $-1$) esté alineado con los puntos $\left( -3,1 \right)$ y $\left( 0,-2 \right)$.

Los puntos que estén alineados con $\left( -3,1 \right)$ y $\left( 0,-2 \right)$, deben cumplir la ecuación de la recta que pasa por $\left( -3,1 \right)$ y $\left( 0,-2 \right)$.

Calculemos por tanto la ecuación de dicha recta:

Al ser una recta del plano tendrá de ecuación $y=mx+n$.

Dado que pasa por el punto $\left( -3,1 \right)$, las coordenadas de este punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times \left( -3 \right)+n$.

Dado que pasa por el punto $\left( 0,-2 \right)$, las coordenadas de este punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-2=m\times \left( 0 \right)+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en la otra ecuación:

$1=-3m+n\quad \Rightarrow \quad 1=-3m+-2\quad \Rightarrow \quad 1+2=-3m\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad 3=-3m\quad \Rightarrow \quad \frac{3}{-3}=m\quad \Rightarrow -1=m$

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( -3,1 \right)$ y $\left( 0,-2 \right)$ es $y=-x-2$ y estarán alineados con ellos todos los puntos que cumplan dicha ecuación.

El punto que buscamos $\left( -1,y \right)$ debe estar alineado con ellos y, por lo tanto, debe cumplir dicha ecuación:

$y=-x-2\quad \Rightarrow \quad y=-\left( -1 \right)-2\quad \Rightarrow \quad y=1-2\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y=-1$

Otra manera de comprobar si tres puntos están alineados, aunque menos intuitiva geométricamente hablando, es recordar que “tres puntos $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$, $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ y $\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)$ están alineados si $\frac{{{y}_{3}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ o bien ${{x}_{1}}={{x}_{2}}={{x}_{3}}$”.

Y en nuestro caso tendríamos, dado que los puntos son $\left( -3,1 \right)$, $\left( 0,-2 \right)$ y $\left( -1,y \right)$:

$\frac{y-1}{-1-\left( -3 \right)}=\frac{-2-1}{0-\left( -3 \right)}\quad \Rightarrow \quad \frac{y-1}{-1+3}=\frac{-3}{3}\quad \Rightarrow \quad \frac{y-1}{2}=-1\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y-1=\left( -1 \right)\times 2\quad \Rightarrow \quad y-1=-2\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y=-2+1\quad \Rightarrow \quad y=-1$