21. Lanzamos un dado dos veces, si la suma de los resultados es 7, la probabilidad de que el primero sea un 6 es igual a:

a) ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;$

b) ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{5}\;$

c) ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{7}\;$

En el experimento aleatorio “lanzar un dado dos veces” podemos considerar como espacio muestral:

$\Omega =\left\{ \left( 1,1 \right),\left( 1,2 \right),\left( 1,3 \right),\left( 1,4 \right),\left( 1,5 \right),\left( 1,6 \right),\left( 2,1 \right),\left( 2,2 \right),...,\left( 6,6 \right) \right\}$

con $6\times 6=36$ casos posibles.

Los sucesos mencionados se pueden expresar como:

$A\equiv $ “la suma de los resultados es 7”

$B\equiv $ “el primer resultado es un 6”

es decir:

$A=\left\{ \left( 1,6 \right),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \right\}$

$B=\left\{ \left( 6,1 \right),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \right\}$

Nos piden calcular la probabilidad de que el primer resultado sea un 6 sabiendo que la  suma es 7, es decir, la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que ha ocurrido $A$, o lo que es lo mismo $P(B/A)$. Y por definición de probabilidad condicionada:

$P(B/A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$

Calculemos cada uno de ellos:

$P(A)=\frac{\text{n}{}^\circ \ \text{casos favorables}}{\text{n}{}^\circ \ \text{casos posibles}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

$B\cap A=\left\{ \left( 6,1 \right) \right\}\quad \Rightarrow \quad P\left( B\cap A \right)=\frac{1}{36}$

Y la probabilidad pedida será:

$P(B/A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{36}\;}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

También podíamos haber razonado de la siguiente manera:

$P$(el 1º sea un 6 si la suma es 7)$=\frac{\text{n}{}^\circ \ \text{casos favorables}}{\text{n}{}^\circ \ \text{casos posibles}}=$

$=\frac{\text{n}{}^\circ \ \text{casos en que el 1}{}^\circ \ \text{es un 6 y suman 7}}{\text{n}{}^\circ \ \text{casos en que suman 7}}=\frac{1}{6}$