54. La aplicación $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que asigna a cada $n\in \mathbb{N}$ el número $3\cdot n+1$

a) no es sobreyectiva, porque hay números en $\mathbb{N}$ que no son imagen de ninguno de $\mathbb{N}$.

b) es sobreyectiva.

c) no es sobreyectiva, porque hay números distintos de $\mathbb{N}$ tienen la misma imagen.

Para que sea sobreyectiva todo elemento del conjunto final debe ser imagen de al menos un elemento del conjunto inicial.

Es decir, si cogemos un elemento cualquiera del conjunto final  $\left( y \right)$, tenemos que ser capaces de encontrar al menos un elemento del conjunto inicial ($x$) siendo $y$ la imagen de $x$, es decir $f(x)=y$, es decir $x\to y$.

En nuestro caso, si cogemos un número natural cualquiera del conjunto final ($y$), tenemos que ser capaces de encontrar al menos un número natural del conjunto inicial ($x$) siendo $y=3x+1$ (la imagen de $x$).

Veamos si siempre podemos encontrar dicho número $x$:

$y=3x+1\quad \Rightarrow \quad y-1=3x\quad \Rightarrow \quad \frac{y-1}{3}=x\in \mathbb{N}$

Por lo tanto, si cogemos un número natural cualquiera del conjunto final ($y$), será imagen del número $\frac{y-1}{3}$, pero ¿lo encontraremos siempre en el conjunto inicial? ¿es siempre un número natural?

Lo cierto es que no, hay numerosos casos, como $y=5$, que debería ser la imagen de $\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}$, pero $\frac{4}{3}\notin \mathbb{N}$.

Es decir, habrá números del conjunto final que no serán imagen de ningún elemento del conjunto inicial (“no recibirán ninguna flecha”), como $y=5$, por lo que NO es sobreyectiva.