28. El punto de coordenadas $\left( 1,1 \right)$ está alineado con los puntos:

a) $\left( 3,0 \right)$ y $\left( 5,-1 \right)$

b) $\left( 3,1 \right)$ y $\left( 0,-2 \right)$

c) $\left( 2,1 \right)$ y $\left( -1,-1 \right)$

Calculemos la recta que pasa por cada pareja de puntos propuesta hasta encontrar a cuál de ellas pertenece $\left( 1,1 \right)$.

La recta que pasa por los puntos $\left( 3,0 \right)$ y $\left( 5,-1 \right)$ tendrá de ecuación $y=mx+n$.

Dado que pasa por el punto $\left( 3,0 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $0=m3+n$.

Dado que pasa por el punto $\left( 5,-1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: .

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

$0=3m+n\quad \Rightarrow \quad 0=3\left( -\frac{1}{2} \right)+n\quad \Rightarrow \quad 0=-\frac{3}{2}+n\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad \frac{3}{2}=n$

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 3,0 \right)$ y $\left( 5,-1 \right)$ es $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ y estarán alineados con ellos todos los puntos que cumplan dicha ecuación.

para el punto $\left( 1,1 \right)$ tenemos:

$1=\left( -\frac{1}{2} \right)\left( 1 \right)+\frac{3}{2}\quad \Rightarrow \quad 1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\quad \Rightarrow \quad 1=\frac{-1+3}{2}\quad \Rightarrow \quad $

$\Rightarrow \quad 1=\frac{2}{2}\quad \Rightarrow \quad 1=1\quad \Rightarrow $ el punto $(1,1)$ sí cumple la ecuación de la recta y, por lo tanto sí está alineado con los puntos $\left( 3,0 \right)$ y $\left( 5,-1 \right)$.

Otra manera de comprobar si tres puntos están alineados, aunque menos intuitiva geométricamente hablando, es recordar que “tres puntos $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$, $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ y $\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)$ están alineados si $\frac{{{y}_{3}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ o bien ${{x}_{1}}={{x}_{2}}={{x}_{3}}$”.

Y en nuestro caso tendríamos:

$\frac{3-1}{0-1}=\frac{5-1}{-1-1}\quad \Rightarrow \quad \frac{2}{-1}=\frac{4}{-2}\quad \Rightarrow \quad -2=-2\quad \Rightarrow $ el punto $(1,1)$ sí cumple la condición mencionada y, por lo tanto sí está alineado con los puntos $\left( 3,0 \right)$ y $\left( 5,-1 \right)$.