5. ¿Cuál de los siguientes puntos no está alineado con los puntos de coordenadas $(2,-1)$ y $(1,2)$?

a) $(-1,8)$

b) $(3,-4)$

c) $(-2,5)$

Calculemos primero la recta que pasa por los puntos $(2,-1)$ y $(1,2)$.

Si es una recta tendrá de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Si la recta pasa por el punto $(2,-1)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-1=m2+n$

Igualmente si pasa por el punto $(1,2)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $2=m1+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

Y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

$2=m+n\quad \Rightarrow \quad 2=-3+n\quad \Rightarrow \quad 2+3=n\quad \Rightarrow \quad 5=n$

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(2,-1)$ y $(1,2)$ es  $y=-3x+5$ y estarán alineados con ellos todos los puntos que cumplan dicha ecuación.

Comprobemos cuáles de las soluciones ofrecidas cumplen la ecuación:

a) $8=(-3)(-1)+5\quad \Rightarrow \quad 8=3+5\quad \Rightarrow \quad 8=8\quad \Rightarrow $ el punto $(-1,8)$ sí cumple la ecuación de la recta y, por lo tanto está alineado con los puntos $(2,-1)$ y $(1,2)$.

b) $-4=(-3)\times 3+5\quad \Rightarrow \quad -4=-9+5\quad \Rightarrow \quad -4=-4 \quad \Rightarrow $ el punto $(3,-4)$ sí cumple la ecuación de la recta y, por lo tanto está alineado con los puntos $(2,-1)$ y $(1,2)$.

c) $5=(-3)(-2)+5\quad \Rightarrow \quad 5=6+5\quad \Rightarrow \quad 5=11\quad \Rightarrow $ el punto $(-2,5)$ no cumple la ecuación de la recta y, por lo tanto no está alineado con los puntos $(2,-1)$ y $(1,2)$.