23. La función $f\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$, cuando $x\to 1$,

a) tiene límite 0

b) tiene límite $\infty $

c) no tiene límite

La función $f\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

Determinemos entonces los puntos que anulan el denominador:

${{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\quad \Rightarrow \quad x-1=0\quad \Rightarrow \quad x=1$

Dado que debemos calcular el límite en uno de los “los ceros del denominador”, estudiaremos los límites laterales, es decir, cómo se comporta la función “un poco antes y un poco después” de $x=1$:

Calculemos el límite por la izquierda (un poco antes de $x=1$):

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( {{1}^{-}}-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( {{0}^{-}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty $

y el límite por la derecha (un poco después de $x=1$):

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( {{1}^{+}}-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( {{0}^{+}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty $

Ambos límites laterales coinciden, por lo que el límite pedido existe y coincide con ellos, es decir:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=+\infty $